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第一章 概述
算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。
算法的特征：
可终止性：算法必须在有限时间内终止；
正确性：算法必须正确描述问题的求解过程；
可行性：算法必须是可实施的；
算法可以有0个或0个以上的输入；
算法必须有1个或1个以上的输出。
算法与程序的关系：
区别：程序可以不一定满足可终止性。但算法必须在有限时间内结束；
程序可以没有输出,而算法则必须有输出；
算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。
联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；
程序可以不满足算法的有限性性质。
算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。
算法复杂性分析：
算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。
算法复杂性度量：
期望反映算法本身性能，与环境无关。
理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。
一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单 位的开销作为标准。
算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。即C=F(N, I, A)。
第二章 递归与分治
分治法的基本思想：
求解问题算法的复杂性一般都与问题规模相关，问题规模越小越容易处理。
分治法的基本思想是，将一个难以直接解决的大问题，分解为规模较小的相同子问题，直至这些子问题容易直接求解，并且可以利用这些子问题的解求出原问题的解。各个击破，分而治之。
分治法产生的子问题一般是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。递归是分治法中最常用的技术。
使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。（这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。）
递归的概念：
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法，用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
第三章 动态规划
动态规划的基本思想：
动态规划算法与分治法类似，其思想把求解的问题分成许多阶段或多个子问题，然后按顺序求解各子问题。最后一个阶段或子问题的解就是初始问题的解。
分治法求解时，子问题数目太多，从而导致解决原问题需要耗费指数级时间。
与分治法不同的是，动态规划中分解得到的子问题往往不是互相独立的。
但不同子问题的数目常常只有多项式级。用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。
动态规划的适用条件：
动态规划法解所能解决的问题一般具有以下两个基本因素：
一、最优子结构性质
当问题的最优解包含着其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
二、重叠子问题性质
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。
其它同分治法。
动态规划问题的特征：
求解的问题是组合优化问题；
求解过程需要多步判断，从小到大依次求解；
子问题目标函数最优解之间存在依赖关系；
动态规划算法设计的基本步骤和要素：
基本步骤：
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。（考察是否适合采用动态规划法。）
（2）递归地定义最优值。(建立递归式或动态规划方程)
（3）以自底向上的方式（或以自顶向下的备忘录方法）计算出最优值。
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
要素：
最优子结构
重叠子问题
备忘录（表格）
应用实例分析：
1、矩阵连乘问题：
（1）分析最优解结构：
计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解，满足最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。
（2）建立递归关系；
（3）计算最优值—递归求解（递归求解最优值复杂度较高的原因是：子问题重复度高)；
计算最优值—迭代查表求解
计算最优值—备忘录求解
（4）构造最优解
用户：y*** 算法分析与设计期末考试重点笔记
2024-01-01 00:48:28
用户：正*** 算法分析与设计期末考试重点笔记
2024-01-14 15:04:51
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2024-04-22 11:53:10
